Radioen

On air

Notturno  |  Sufjan Stevens - Mystery Of Love

play_arrow Live
arrow_back_ios

100komma7.lu

100komma7.lu

/ Chaos an dynamesch Systemer

Mathematik

Chaos an dynamesch Systemer

D'Chaosfuerschung beschäftegt sech mat Situatiounen, an deene Viraussoen nëmme begrenzt méiglech sinn. Et ass net verwonnerlech, datt dës Branche vun der Mathematik Applikatiounen an allerlee Domainer vum Alldag huet.

auto_stories

10 min

E Fraktal

Eng gutt mathematesch Erklärung fänkt traditionell mat enger Rëtsch Definitiounen un. Bei engem Thema wéi der Chaostheorie ass dat guer net sou einfach. De Chaos wär net wierklech Chaos, wann en erklärbar wär.

Eigentlech ass d'Chaostheorie awer just gewëssermoossen de "Marketing-Numm" vun enger grousser Ënnerdisziplin vun der Mathematik, déi sech mat dynamesche Systemer beschäftegt. Si interesséiert sech ganz allgemeng fir Systemer, déi mat der Zäit änneren: sief dat e Gewiicht, dat un engem Fuedem hin- an hierpendelt, oder d'Zuel vun den Huesen, déi an engem Bësch liewen.

Wiesselwierkungen am Sonnesystem

Oder eise Sonnesystem. Do dobäi hat et eigentlech ausgesinn, wéi wann do all d'Bewegunge vun de Planéiten a Mounden nom Isaac Newton senger Aarbecht ee fir allemol beschriwwe gewiescht wären.

Et huet sech awer séier erausgestallt, datt dem Newton seng Equatiounen zwar d'Bewegungen am Prinzip erklären a beschreiwe konnten. An der Praxis war dat awer net esou einfach: D'Sonn zitt zwar d'Äerd un, an d'Äerd de Mound, ma de Mound zitt sengersäits och d'Äerd an d'Sonn un. All déi Kräften ënnert dësen dräi Objeten erginn e System, deen esou komplex ass, datt keng wierklech präzis Beschreiwung méiglech ass.

An am spéiden 19. Joerhonnert konnt de Fransous Henri Poincaré weisen, datt sech d'Bewegung vun esou Dräi-Kierper-Systemer just a ganz rare Spezialfäll zyklesch widderhëlt. An deene meeschte Kontexter kënne sou Systemer zwar relativ genee, awer net 100-Prozenteg beschriwwe ginn. Amplaz vun engem schéin organiséierte Sonnesystem koum also eng Usammlung vu Kierperen, déi sech zwar op ongeféier feste Bunne beweegt hunn, där hir Elementer awer ni zweemol a genee der selwechter Konstellatioun zuenee stoungen.

Verännerungen duerch e klenge Koeffizient

Dës Decouverte sollt den Duerchbroch sinn, deen de Wee fräi gemaach huet, fir eng ganz nei Fuerschungsrichtung. Dës dynamesch Systemer fanne sech a ganz ville Kontexter erëm. All Kéiers stellt sech eraus, datt et zwar méiglech ass, relativ genee virauszesoen, wéi de System sech wäert verhalen, virausgesat et wëllt een dat net op ze vill e groussen Zäitraum maachen. A long terme ginn dës Viraussoen nämlech ëmmer méi ongenee a schliisslech einfach sënnlos.

A gewësser Weis treffen hei zwou Iddien openeen, déi sech géigesäiteg widderspriechen. Un der Basis eng kloer definéiert, mathematesch Formuléierung, déi u sech all Kéiers zum selwechte Resultat féiere misst. Trotz dësem Determinismus bleift d'Schlussresultat awer ongewëss. An dëst Verhalen entsteet einfach just, well ee klenge Koeffizient am System liicht verännert gëtt.

Dobäi kënnen dës mathematesch Systemer heiansdo iwwerraschend einfach sinn. Ee klassesche Fall heifir ass beispillsweis déi sougenannten "Logistesch Gläichung", bei där Schrëtt fir Schrëtt een Terme mat Hëllef vun deem virdrun ausgerechent gëtt. Wann zu engem bestëmmten Zäitpunkt hei de Wäert x fonnt gouf, da gëtt fir den nächste Schrëtt dësen x mat 1-x a mat engem Koeffizient k multiplizéiert. Eng ganz einfach Rechnung u sech, an d'Resultater variéieren och eenegermoosse regelméisseg. Virausgesat de Koeffizient bleift a bestëmmte Grenzen. Soubal wéi en awer un e kritesche Wäert erukënnt, fänken d'Resultater u wéi wëll hin an hier ze sprangen, a vun engem Schrëtt bei deen nächste leie si op eemol wäit auserneen.

De Päiperlécks-Effekt

Dat Interessant ass, wéi sensibel sou Situatiounen op winzeg kleng Verännerunge reagéieren. Eppes wat dacks duerch de Päiperléck-Effekt beschriwwe gëtt. Den amerikanesche Meteorolog Edward Lorenz hat dëst Bild an engem Artikel erfonnt a gefrot: kann e Päiperlek, deen a Brasilie mat de Flilleke schléit, am Texas en Tornado ausléisen?

Et ass eigentlech net iwwerraschend, datt grad e Meteorolog dës Fro opgeworf huet. Eis Atmosphär ass e perfekt Beispill fir en dynamesche System, dee ganz sensibel op winzeg Changementer reagéiere kann. Och hei si Viraussoe just op relativ kuerz Zäitraim méiglech, an och geographesch ass d'Prezisioun begrenzt.

Hei ass de Mangel u Prezisioun direkt op e puer Plazen ze fannen. Et ass einfach onméiglech beispillsweis all d'Donnéeë vum Wieder haut ze kennen, an d'Temperatur, Loftdrock asouweider fir all Punkt an Europa ze kennen. Déi puer Donnéeën, déi bekannt sinn, kënnen dann och just bis op eng limitéiert Genauegkeet gemooss ginn. All dës Informatioune ginn an engem mathematesche Modell matenee verrechent, an och hei kommen noutwennegerweis Ongenauegkeeten duerch Ronnungsfehler an d'Spill.

De Lorenz war et dann och, deen dës Sensibilitéit vum Wieder mathematesch illustréiere konnt, an zwar duerch deen no him benannte Lorenz-Akktraktor: dräi Differentialgläichungen zesumme geholl musse geléist ginn. Jee nodeems wéi eng Randbedingunge fir de System festgeluecht ginn, fënnt sech eng Léisung, déi tëscht zwee Attraktiounspunkten hin an hier pendelt. Eng Zort Gläichgewiicht also, an deem Sënn, datt keng wëll Schwankungen do sinn, awer eng Onstabilitéit tëscht zwou méigleche Léisungen, vun deene keng wierklech erreecht gëtt.​

Lorenz Attraktor (Quell: Wikipedia)

Fraktaler an der Natur

​​D'Beschäftegung mat sou Systemer, déi einfach ze formuléiere sinn, awer zu iwwerraschenden an onerwaart komplexe Resultater féieren, sollt zu enger anerer Decouverte féieren: déi vun de Fraktalen. Graphesch duergestallt ergi si immens androcksvoll an uspriechend Biller. Dobäi sinn et keng reng abstrakt Strukturen, ma si stinn an direkter Verbindung mat der Natur.

Choufleur ass beispillsweis nom Muster vun engem Fraktal opgebaut. Awer och onregelméisseg Längten, wéi beispillsweis eng Küst, passen an dës Kategorie. Net verwonnerlech deemno, datt d'Mathematik vun de Fraktalen haut ganz vill agesat gëtt, wa Landschaften oder Planze per Computergrafik solle simuléiert ginn.

"Chaos" als Léisung

Iwwerhaapt feelt et net un Applikatioune vun der Chaostheorie an den dynamesche Systemer. An der Medezin zum Beispill, wou méi a méi fraktal Strukturen erbäigezu ginn, fir Organer a Geweben ze modelliséieren. Oder och fir kënschtlech Bluttgefässer hierzestellen. An och aner Virgäng, wéi en Hireschlag kënnen duerch d'Iddië vun der Chaostheorie beschriwwe ginn.

Fraktal Strukturen a chaotesch Systemer fënnt een awer och ëmmer méi an abstrakte Konzepter: D'Economisten analyséieren op dësem Wee scho méi laang d'Verleef vun Aktiepräisser op der Bourse. Soziologen an Historiker fannen dës Phänomener am Verlaf vum Gesellschaftsliewen an der Geschicht erëm.

A leschter Zäit schéngt och den Interessi ze wuessen, wann et drëms geet, fir Léisunge fir ganz aktuell Problemer ze fannen. Den Autostraffic an de Verkéiersfloss a Ballungszentre gëtt zum Beispill méi a méi aus dësem Bléckwénkel gekuckt.

Den Numm "Chaos" täuscht eben: hannert dem scheinbare Wahnsinn stécht dacks eng Method. Déi kann ee just net mat de klasseschen Approchen am Detail verstoen an analyséieren, sou wéi een dat mat anere Problemer maache kann. Och ouni all Aspekter genee ze beschreiwen, kënne Léisunge fonnt ginn, an déi sinn dacks erstaunlech efficace. Engem Roboter d'Goë bäibréngen ass beispillsweis iwwert déi traditionell Approche onméiglech. Et sinn einfach ze vill Parameteren, déi gläichzäiteg misste gemooss an ausgewäert ginn, fir dann d'Reaktioun an déi nächst Bewegung ze berechnen an d'Motoren unzesteieren. Hei hat d'Chaostheorie e wichtege Schrëtt no vir erlaabt, an dat an all Sënn vum Wuert.